$$$x^{5} + 4 x^{4} + 1$$$ 的積分
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求$$$\int \left(x^{5} + 4 x^{4} + 1\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(x^{5} + 4 x^{4} + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{4 x^{4} d x} + \int{x^{5} d x}\right)}}$$
配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：
$$\int{4 x^{4} d x} + \int{x^{5} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{4 x^{4} d x} + \int{x^{5} d x} + {\color{red}{x}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=5$$$：
$$x + \int{4 x^{4} d x} + {\color{red}{\int{x^{5} d x}}}=x + \int{4 x^{4} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 5}}{1 + 5}}}=x + \int{4 x^{4} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{6}}{6}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{4}$$$：
$$\frac{x^{6}}{6} + x + {\color{red}{\int{4 x^{4} d x}}} = \frac{x^{6}}{6} + x + {\color{red}{\left(4 \int{x^{4} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=4$$$：
$$\frac{x^{6}}{6} + x + 4 {\color{red}{\int{x^{4} d x}}}=\frac{x^{6}}{6} + x + 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 4}}{1 + 4}}}=\frac{x^{6}}{6} + x + 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{5}}{5}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(x^{5} + 4 x^{4} + 1\right)d x} = \frac{x^{6}}{6} + \frac{4 x^{5}}{5} + x$$
加上積分常數：
$$\int{\left(x^{5} + 4 x^{4} + 1\right)d x} = \frac{x^{6}}{6} + \frac{4 x^{5}}{5} + x+C$$
答案
$$$\int \left(x^{5} + 4 x^{4} + 1\right)\, dx = \left(\frac{x^{6}}{6} + \frac{4 x^{5}}{5} + x\right) + C$$$A