$$$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - t^{2}}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - t^{2}}}\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{x^{3} d x}}{\sqrt{1 - t^{2}}}}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=3$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{\sqrt{1 - t^{2}}}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{\sqrt{1 - t^{2}}}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{\sqrt{1 - t^{2}}}$$
因此，
$$\int{\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d x} = \frac{x^{4}}{4 \sqrt{1 - t^{2}}}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d x} = \frac{x^{4}}{4 \sqrt{1 - t^{2}}}+C$$
答案
$$$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - t^{2}}}\, dx = \frac{x^{4}}{4 \sqrt{1 - t^{2}}} + C$$$A