$$$x^{2} - 1$$$ 的積分

求$$$\int \left(x^{2} - 1\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(x^{2} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{x^{2} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$\int{x^{2} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{x^{2} d x} - {\color{red}{x}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$- x + {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- x + {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- x + {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(x^{2} - 1\right)d x} = \frac{x^{3}}{3} - x$$

加上積分常數：

$$\int{\left(x^{2} - 1\right)d x} = \frac{x^{3}}{3} - x+C$$

$$$\int \left(x^{2} - 1\right)\, dx = \left(\frac{x^{3}}{3} - x\right) + C$$$A