$$$x^{2} e^{4 x}$$$ 的積分

求$$$\int x^{2} e^{4 x}\, dx$$$。

對於積分 $$$\int{x^{2} e^{4 x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{4 x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{4 x} d x}=\frac{e^{4 x}}{4}$$$（步驟見 »）。

所以，

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{4 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \frac{e^{4 x}}{4}-\int{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int{\frac{x e^{4 x}}{2} d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x e^{4 x}$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - {\color{red}{\int{\frac{x e^{4 x}}{2} d x}}} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x e^{4 x} d x}}{2}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{x e^{4 x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{4 x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{4 x} d x}=\frac{e^{4 x}}{4}$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{x e^{4 x} d x}}}}{2}=\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(x \cdot \frac{e^{4 x}}{4}-\int{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 1 d x}\right)}}}{2}=\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x e^{4 x}}{4} - \int{\frac{e^{4 x}}{4} d x}\right)}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{4 x}}{4} d x}}}}{2} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{4 x} d x}}{4}\right)}}}{2}$$

令 $$$u=4 x$$$。

則 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{4}$$$。

所以，

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}}}{8} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{8}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{8} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}}{8}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{32} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{32}$$

回顧一下 $$$u=4 x$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{32} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}}{32}$$

因此，

$$\int{x^{2} e^{4 x} d x} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{e^{4 x}}{32}$$

化簡：

$$\int{x^{2} e^{4 x} d x} = \frac{\left(8 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{4 x}}{32}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{2} e^{4 x} d x} = \frac{\left(8 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{4 x}}{32}+C$$

$$$\int x^{2} e^{4 x}\, dx = \frac{\left(8 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{4 x}}{32} + C$$$A