$$$x^{6} e^{x^{7}}$$$ 的積分

求$$$\int x^{6} e^{x^{7}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{7}$$$。

則 $$$du=\left(x^{7}\right)^{\prime }dx = 7 x^{6} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{6} dx = \frac{du}{7}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{x^{6} e^{x^{7}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{7} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{7}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{7} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{7}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{7}$$

回顧一下 $$$u=x^{7}$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{7} = \frac{e^{{\color{red}{x^{7}}}}}{7}$$

因此，

$$\int{x^{6} e^{x^{7}} d x} = \frac{e^{x^{7}}}{7}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{6} e^{x^{7}} d x} = \frac{e^{x^{7}}}{7}+C$$

$$$\int x^{6} e^{x^{7}}\, dx = \frac{e^{x^{7}}}{7} + C$$$A