$$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{1}{x}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{p} \operatorname{dv} = \operatorname{p}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dp}$$$。

令 $$$\operatorname{p}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。

則 $$$\operatorname{dp}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$- {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- u e^{u} + {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - u e^{u} + {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{1}{x}$$$：

$$e^{{\color{red}{u}}} - {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}} - {\color{red}{\frac{1}{x}}} e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

化簡：

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} + C$$$A