$$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{2} + 1$$$。

則 $$$du=\left(x^{2} + 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-2$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=x^{2} + 1$$$：

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{-1}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(x^{2} + 1\right)}}^{-1}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}$$

化簡：

$$\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{2 x^{2} + 2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{2 x^{2} + 2}+C$$

$$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2} + 2} + C$$$A