$$$\frac{x}{k - x^{2}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \frac{x}{k - x^{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=k - x^{2}$$$。

則 $$$du=\left(k - x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{x}{k - x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=k - x^{2}$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(k - x^{2}\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{x}{k - x^{2}} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{k - x^{2}}\right| \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{x}{k - x^{2}} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{k - x^{2}}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{x}{k - x^{2}}\, dx = - \frac{\ln\left(\left|{k - x^{2}}\right|\right)}{2} + C$$$A