$$$\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=1 - x^{2}$$$。
則 $$$du=\left(1 - x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$。
所以，
$${\color{red}{\int{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u^{3}}\right)d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{3}}$$$：
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u^{3}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}{2}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-3$$$：
$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\int{u^{-3} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(- \frac{u^{-2}}{2}\right)}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)}}}{2}$$
回顧一下 $$$u=1 - x^{2}$$$：
$$\frac{{\color{red}{u}}^{-2}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(1 - x^{2}\right)}}^{-2}}{4}$$
因此，
$$\int{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}} d x} = \frac{1}{4 \left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
化簡：
$$\int{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}} d x} = \frac{1}{4 \left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}} d x} = \frac{1}{4 \left(x^{2} - 1\right)^{2}}+C$$
答案
$$$\int \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}}\, dx = \frac{1}{4 \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + C$$$A