$$$x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$$。

對於積分 $$$\int{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}=- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$（步驟見 »）。

所以，

$${\color{red}{\int{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)-\int{\left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - \int{\left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$：

$$- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - {\color{red}{\int{\left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)d x}}} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - {\color{red}{\left(- 2 \int{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{x}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 2 du$$$。

因此，

$$- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 {\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 {\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$$- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 {\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 {\color{red}{\left(2 \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{2}$$$：

$$- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = \left(- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + C$$$A