$$$x \left(2 x - 5\right)^{8}$$$ 的積分
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求$$$\int x \left(2 x - 5\right)^{8}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=2 x - 5$$$。
則 $$$du=\left(2 x - 5\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{x \left(2 x - 5\right)^{8} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{8} \left(u + 5\right)}{4} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{8} \left(u + 5\right)$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{u^{8} \left(u + 5\right)}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u^{8} \left(u + 5\right) d u}}{4}\right)}}$$
Expand the expression:
$$\frac{{\color{red}{\int{u^{8} \left(u + 5\right) d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\left(u^{9} + 5 u^{8}\right)d u}}}}{4}$$
逐項積分：
$$\frac{{\color{red}{\int{\left(u^{9} + 5 u^{8}\right)d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(\int{5 u^{8} d u} + \int{u^{9} d u}\right)}}}{4}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=9$$$：
$$\frac{\int{5 u^{8} d u}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{u^{9} d u}}}}{4}=\frac{\int{5 u^{8} d u}}{4} + \frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 9}}{1 + 9}}}}{4}=\frac{\int{5 u^{8} d u}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{10}}{10}\right)}}}{4}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=5$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{8}$$$：
$$\frac{u^{10}}{40} + \frac{{\color{red}{\int{5 u^{8} d u}}}}{4} = \frac{u^{10}}{40} + \frac{{\color{red}{\left(5 \int{u^{8} d u}\right)}}}{4}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=8$$$：
$$\frac{u^{10}}{40} + \frac{5 {\color{red}{\int{u^{8} d u}}}}{4}=\frac{u^{10}}{40} + \frac{5 {\color{red}{\frac{u^{1 + 8}}{1 + 8}}}}{4}=\frac{u^{10}}{40} + \frac{5 {\color{red}{\left(\frac{u^{9}}{9}\right)}}}{4}$$
回顧一下 $$$u=2 x - 5$$$：
$$\frac{5 {\color{red}{u}}^{9}}{36} + \frac{{\color{red}{u}}^{10}}{40} = \frac{5 {\color{red}{\left(2 x - 5\right)}}^{9}}{36} + \frac{{\color{red}{\left(2 x - 5\right)}}^{10}}{40}$$
因此，
$$\int{x \left(2 x - 5\right)^{8} d x} = \frac{\left(2 x - 5\right)^{10}}{40} + \frac{5 \left(2 x - 5\right)^{9}}{36}$$
化簡：
$$\int{x \left(2 x - 5\right)^{8} d x} = \frac{\left(2 x - 5\right)^{9} \left(18 x + 5\right)}{360}$$
加上積分常數：
$$\int{x \left(2 x - 5\right)^{8} d x} = \frac{\left(2 x - 5\right)^{9} \left(18 x + 5\right)}{360}+C$$
答案
$$$\int x \left(2 x - 5\right)^{8}\, dx = \frac{\left(2 x - 5\right)^{9} \left(18 x + 5\right)}{360} + C$$$A