$$$\sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}}$$$ 的積分
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求$$$\int \sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}}\, dx$$$。
解答
已將輸入重寫為：$$$\int{\sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}} d x}=\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x}$$$。
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\sqrt[4]{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{9}{4}}$$$：
$${\color{red}{\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x}}} = {\color{red}{\sqrt[4]{2} \int{x^{\frac{9}{4}} d x}}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{9}{4}$$$：
$$\sqrt[4]{2} {\color{red}{\int{x^{\frac{9}{4}} d x}}}=\sqrt[4]{2} {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{9}{4}}}{1 + \frac{9}{4}}}}=\sqrt[4]{2} {\color{red}{\left(\frac{4 x^{\frac{13}{4}}}{13}\right)}}$$
因此，
$$\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x} = \frac{4 \sqrt[4]{2} x^{\frac{13}{4}}}{13}$$
加上積分常數：
$$\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x} = \frac{4 \sqrt[4]{2} x^{\frac{13}{4}}}{13}+C$$
答案
$$$\int \sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}}\, dx = \frac{4 \sqrt[4]{2} x^{\frac{13}{4}}}{13} + C$$$A