$$$\frac{v}{\sec{\left(v \right)}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{v}{\sec{\left(v \right)}}\, dv$$$。

簡化被積函數:

$${\color{red}{\int{\frac{v}{\sec{\left(v \right)}} d v}}} = {\color{red}{\int{v \cos{\left(v \right)} d v}}}$$

對於積分 $$$\int{v \cos{\left(v \right)} d v}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{d\mu} = \operatorname{u}\operatorname{\mu} - \int \operatorname{\mu} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=v$$$ 與 $$$\operatorname{d\mu}=\cos{\left(v \right)} dv$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(v\right)^{\prime }dv=1 dv$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{\mu}=\int{\cos{\left(v \right)} d v}=\sin{\left(v \right)}$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{v \cos{\left(v \right)} d v}}}={\color{red}{\left(v \cdot \sin{\left(v \right)}-\int{\sin{\left(v \right)} \cdot 1 d v}\right)}}={\color{red}{\left(v \sin{\left(v \right)} - \int{\sin{\left(v \right)} d v}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(v \right)} d v} = - \cos{\left(v \right)}$$$：

$$v \sin{\left(v \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}} = v \sin{\left(v \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(v \right)}\right)}}$$

因此，

$$\int{\frac{v}{\sec{\left(v \right)}} d v} = v \sin{\left(v \right)} + \cos{\left(v \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{v}{\sec{\left(v \right)}} d v} = v \sin{\left(v \right)} + \cos{\left(v \right)}+C$$

$$$\int \frac{v}{\sec{\left(v \right)}}\, dv = \left(v \sin{\left(v \right)} + \cos{\left(v \right)}\right) + C$$$A