$$$\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{t \cos{\left(2 t \right)} d t}}{4}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{t \cos{\left(2 t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=t$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(2 t \right)} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}=\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$\frac{{\color{red}{\int{t \cos{\left(2 t \right)} d t}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(t \cdot \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}-\int{\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} \cdot 1 d t}\right)}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{2} - \int{\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} d t}\right)}}}{4}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$$：

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} d t}}}}{4} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(2 t \right)} d t}}{2}\right)}}}{4}$$

令 $$$u=2 t$$$。

則 $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 t \right)} d t}}}}{8} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{8}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{8} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{8}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{16} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{16}$$

回顧一下 $$$u=2 t$$$：

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{16} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{16}$$

因此，

$$\int{\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4} d t} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{16}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4} d t} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{16}+C$$

$$$\int \frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4}\, dt = \left(\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{16}\right) + C$$$A