$$$t e^{- t}$$$ 的積分
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求$$$\int t e^{- t}\, dt$$$。
解答
對於積分 $$$\int{t e^{- t} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
令 $$$\operatorname{u}=t$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$。
則 $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$（步驟見 »）。
該積分變為
$${\color{red}{\int{t e^{- t} d t}}}={\color{red}{\left(t \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 1 d t}\right)}}={\color{red}{\left(- t e^{- t} - \int{\left(- e^{- t}\right)d t}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$：
$$- t e^{- t} - {\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = - t e^{- t} - {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$
令 $$$u=- t$$$。
則 $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = - du$$$。
因此，
$$- t e^{- t} + {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - t e^{- t} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：
$$- t e^{- t} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - t e^{- t} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$
指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：
$$- t e^{- t} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t e^{- t} - {\color{red}{e^{u}}}$$
回顧一下 $$$u=- t$$$：
$$- t e^{- t} - e^{{\color{red}{u}}} = - t e^{- t} - e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$
因此，
$$\int{t e^{- t} d t} = - t e^{- t} - e^{- t}$$
化簡：
$$\int{t e^{- t} d t} = \left(- t - 1\right) e^{- t}$$
加上積分常數：
$$\int{t e^{- t} d t} = \left(- t - 1\right) e^{- t}+C$$
答案
$$$\int t e^{- t}\, dt = \left(- t - 1\right) e^{- t} + C$$$A