$$$\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y}\, dy$$$。

令 $$$u=y^{\frac{5}{2}}$$$。

則 $$$du=\left(y^{\frac{5}{2}}\right)^{\prime }dy = \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$y^{\frac{3}{2}} dy = \frac{2 du}{5}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{u^{2} - 1}}{5 u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{2}{5}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{u^{2} - 1}}{5 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u} d u}}{5}\right)}}$$

令 $$$u=\cosh{\left(v \right)}$$$。

則 $$$du=\left(\cosh{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \sinh{\left(v \right)} dv$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(u \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{\sqrt{ u ^{2} - 1}}{ u } = \frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}{\cosh{\left( v \right)}}$$$

使用恆等式 $$$\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}{\cosh{\left( v \right)}}=\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}{\cosh{\left( v \right)}}$$$

假設 $$$\sinh{\left( v \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}{\cosh{\left( v \right)}} = \frac{\sinh{\left( v \right)}}{\cosh{\left( v \right)}}$$$

積分可以改寫為

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u} d u}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)}}{\cosh{\left(v \right)}} d v}}}}{5}$$

將分子與分母同乘一個雙曲餘弦，並使用公式 $$$\cosh^2\left(\alpha \right)=\sinh^2\left(\alpha \right)+1$$$（取 $$$\alpha= v $$$），把其餘部分都以雙曲正弦表示:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)}}{\cosh{\left(v \right)}} d v}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)} \cosh{\left(v \right)}}{\sinh^{2}{\left(v \right)} + 1} d v}}}}{5}$$

令 $$$w=\sinh{\left(v \right)}$$$。

則 $$$dw=\left(\sinh{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cosh{\left(v \right)} dv$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\cosh{\left(v \right)} dv = dw$$$。

該積分變為

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)} \cosh{\left(v \right)}}{\sinh^{2}{\left(v \right)} + 1} d v}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{w^{2}}{w^{2} + 1} d w}}}}{5}$$

重寫並拆分分式:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{w^{2}}{w^{2} + 1} d w}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{w^{2} + 1}\right)d w}}}}{5}$$

逐項積分：

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{w^{2} + 1}\right)d w}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\left(\int{1 d w} - \int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}\right)}}}{5}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dw = c w$$$：

$$- \frac{2 \int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{1 d w}}}}{5} = - \frac{2 \int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}}{5} + \frac{2 {\color{red}{w}}}{5}$$

$$$\frac{1}{w^{2} + 1}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w} = \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$$：

$$\frac{2 w}{5} - \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}}}}{5} = \frac{2 w}{5} - \frac{2 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(w \right)}}}}{5}$$

回顧一下 $$$w=\sinh{\left(v \right)}$$$：

$$- \frac{2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{w}} \right)}}{5} + \frac{2 {\color{red}{w}}}{5} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\sinh{\left(v \right)}}} \right)}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\sinh{\left(v \right)}}}}{5}$$

回顧一下 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{2 \sinh{\left({\color{red}{v}} \right)}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{v}} \right)} \right)}}{5} = \frac{2 \sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(u \right)}}} \right)}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(u \right)}}} \right)} \right)}}{5}$$

回顧一下 $$$u=y^{\frac{5}{2}}$$$：

$$\frac{2 \sqrt{1 + {\color{red}{u}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{u}}}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{1 + {\color{red}{u}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{u}}} \right)}}{5} = \frac{2 \sqrt{1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}} \right)}}{5}$$

因此，

$$\int{\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y} d y} = \frac{2 \sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1} \right)}}{5}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y} d y} = \frac{2 \sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1} \right)}}{5}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y}\, dy = \left(\frac{2 \sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1} \right)}}{5}\right) + C$$$A