$$$\sin{\left(2 \theta \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \sin{\left(2 \theta \right)}\, d\theta$$$。

令 $$$u=2 \theta$$$。

則 $$$du=\left(2 \theta\right)^{\prime }d\theta = 2 d\theta$$$ (步驟見»)，並可得 $$$d\theta = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 \theta$$$：

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 \theta\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta} = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta} = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 \theta \right)}\, d\theta = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2} + C$$$A