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$$$\sin{\left(2 t \right)}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \sin{\left(2 t \right)}\, dt$$$。
解答
令 $$$u=2 t$$$。
則 $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{du}{2}$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$
回顧一下 $$$u=2 t$$$：
$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{2}$$
因此，
$$\int{\sin{\left(2 t \right)} d t} = - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
加上積分常數：
$$\int{\sin{\left(2 t \right)} d t} = - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}+C$$
答案
$$$\int \sin{\left(2 t \right)}\, dt = - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + C$$$A