$$$\sin{\left(\frac{x}{y} \right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{x}{y}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = y du$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{y \sin{\left(u \right)} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=y$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{y \int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$y {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = y {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{y}$$$：

$$- y \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - y \cos{\left({\color{red}{\frac{x}{y}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x} = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x} = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}\, dx = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)} + C$$$A