$$$\sin{\left(x + y \right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=x + y$$$。

則 $$$du=\left(x + y\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x + y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=x + y$$$：

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(x + y\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx = - \cos{\left(x + y \right)} + C$$$A