$$$\sin{\left(\ln\left(2 x\right) \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \sin{\left(\ln\left(2 x\right) \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\ln{\left(2 x \right)} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}}{2}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。

令 $$$\operatorname{\kappa}=\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}\right)^{\prime }du=\frac{\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{u} du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{u} d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} - \int{\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}\right)}}}{2}$$

對於積分 $$$\int{\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。

令 $$$\operatorname{\kappa}=\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}\right)^{\prime }du=- \frac{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{u} du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$\frac{u \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}}}}{2}=\frac{u \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} \cdot u-\int{u \cdot \left(- \frac{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{u}\right) d u}\right)}}}{2}=\frac{u \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(u \cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} - \int{\left(- \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}\right)d u}\right)}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}$$$：

$$\frac{u \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{u \cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}\right)d u}}}}{2} = \frac{u \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{u \cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(- \int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}\right)}}}{2}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\frac{\int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}}{2} = \frac{u \sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{u \cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{\int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}}{2}$$

求解後，可得

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u} = \frac{u \left(\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} - \cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}\right)}{2}$$

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{u \left(\sin{\left(\ln{\left(u \right)} \right)} - \cos{\left(\ln{\left(u \right)} \right)}\right)}{2}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}} \left(\sin{\left(\ln{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)} - \cos{\left(\ln{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}\right)}{4} = \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}} \left(\sin{\left(\ln{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)} \right)} - \cos{\left(\ln{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)} \right)}\right)}{4}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(2 x \right)} \right)} d x} = \frac{x \left(\sin{\left(\ln{\left(2 x \right)} \right)} - \cos{\left(\ln{\left(2 x \right)} \right)}\right)}{2}$$

化簡：

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(2 x \right)} \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(2 x \right)} \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(\ln\left(2 x\right) \right)}\, dx = - \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\ln\left(x\right) + \ln\left(2\right) + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A