$$$\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}$$$ 對 $$$\pi$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}\, d\pi$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(\pi \right)}\, d\pi = c \int f{\left(\pi \right)}\, d\pi$$$，使用 $$$c=\frac{1}{z - 1}$$$ 與 $$$f{\left(\pi \right)} = \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi} d \pi}}{z - 1}}}$$

令 $$$u=\pi \left(z - 1\right)$$$。

則 $$$du=\left(\pi \left(z - 1\right)\right)^{\prime }d\pi = \left(z - 1\right) d\pi$$$ (步驟見»)，並可得 $$$d\pi = \frac{du}{z - 1}$$$。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi} d \pi}}}}{z - 1} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}}{z - 1}$$

此積分（正弦積分）不存在閉式表示：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}}{z - 1} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}}{z - 1}$$

回顧一下 $$$u=\pi \left(z - 1\right)$$$：

$$\frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{z - 1} = \frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{\pi \left(z - 1\right)}} \right)}}{z - 1}$$

因此，

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi} = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi} = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}\, d\pi = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1} + C$$$A