$$$\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{\pi x}{3}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{\pi x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{\pi}{3} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{3 du}{\pi}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 \sec^{2}{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{3}{\pi}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{3 \sec^{2}{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}{\pi}\right)}}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ 的積分是 $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{3 {\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{3 {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{\pi}$$

回顧一下 $$$u=\frac{\pi x}{3}$$$：

$$\frac{3 \tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi} = \frac{3 \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{\pi x}{3}\right)}} \right)}}{\pi}$$

因此，

$$\int{\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x} = \frac{3 \tan{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{\pi}$$

加上積分常數：

$$\int{\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x} = \frac{3 \tan{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{\pi}+C$$

$$$\int \sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\, dx = \frac{3 \tan{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{\pi} + C$$$A