$$$s^{2} \left(s - 1\right)$$$ 的積分
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求$$$\int s^{2} \left(s - 1\right)\, ds$$$。
解答
Expand the expression:
$${\color{red}{\int{s^{2} \left(s - 1\right) d s}}} = {\color{red}{\int{\left(s^{3} - s^{2}\right)d s}}}$$
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(s^{3} - s^{2}\right)d s}}} = {\color{red}{\left(- \int{s^{2} d s} + \int{s^{3} d s}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int s^{n}\, ds = \frac{s^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=3$$$：
$$- \int{s^{2} d s} + {\color{red}{\int{s^{3} d s}}}=- \int{s^{2} d s} + {\color{red}{\frac{s^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \int{s^{2} d s} + {\color{red}{\left(\frac{s^{4}}{4}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int s^{n}\, ds = \frac{s^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$\frac{s^{4}}{4} - {\color{red}{\int{s^{2} d s}}}=\frac{s^{4}}{4} - {\color{red}{\frac{s^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{s^{4}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{s^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{s^{2} \left(s - 1\right) d s} = \frac{s^{4}}{4} - \frac{s^{3}}{3}$$
化簡：
$$\int{s^{2} \left(s - 1\right) d s} = \frac{s^{3} \left(3 s - 4\right)}{12}$$
加上積分常數：
$$\int{s^{2} \left(s - 1\right) d s} = \frac{s^{3} \left(3 s - 4\right)}{12}+C$$
答案
$$$\int s^{2} \left(s - 1\right)\, ds = \frac{s^{3} \left(3 s - 4\right)}{12} + C$$$A