$$$\ln\left(d\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(d\right)\, dd$$$。

對於積分 $$$\int{\ln{\left(d \right)} d d}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(d \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dd$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(d \right)}\right)^{\prime }dd=\frac{dd}{d}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d d}=d$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(d \right)} d d}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(d \right)} \cdot d-\int{d \cdot \frac{1}{d} d d}\right)}}={\color{red}{\left(d \ln{\left(d \right)} - \int{1 d d}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dd = c d$$$：

$$d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{\int{1 d d}}} = d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{d}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \ln{\left(d \right)} - d$$

化簡：

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(d\right)\, dd = d \left(\ln\left(d\right) - 1\right) + C$$$A