$$$\ln\left(x \sqrt{x^{21}}\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(x \sqrt{x^{21}}\right)\, dx$$$。

已將輸入重寫為：$$$\int{\ln{\left(x \sqrt{x^{21}} \right)} d x}=\int{\frac{23 \ln{\left(x \right)}}{2} d x}$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{23}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{23 \ln{\left(x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{23 \int{\ln{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（步驟見 »）。

所以，

$$\frac{23 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}}{2}=\frac{23 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}}{2}=\frac{23 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}}{2}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$\frac{23 x \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{23 {\color{red}{\int{1 d x}}}}{2} = \frac{23 x \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{23 {\color{red}{x}}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{23 \ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{23 x \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{23 x}{2}$$

化簡：

$$\int{\frac{23 \ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{23 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{23 \ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{23 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)}{2}+C$$

$$$\int \ln\left(x \sqrt{x^{21}}\right)\, dx = \frac{23 x \left(\ln\left(x\right) - 1\right)}{2} + C$$$A