$$$\ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right)$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
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求$$$\int \ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right)\, dx$$$。
解答
令 $$$u=\frac{x}{x_{0}}$$$。
則 $$$du=\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x_{0}}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = x_{0} du$$$。
所以，
$${\color{red}{\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{x_{0} \ln{\left(u \right)} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=x_{0}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{x_{0} \ln{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{x_{0} \int{\ln{\left(u \right)} d u}}}$$
對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{s} \operatorname{dv} = \operatorname{s}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{ds}$$$。
令 $$$\operatorname{s}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。
則 $$$\operatorname{ds}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。
該積分可改寫為
$$x_{0} {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=x_{0} {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=x_{0} {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$
配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：
$$x_{0} \left(u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}}\right) = x_{0} \left(u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}\right)$$
回顧一下 $$$u=\frac{x}{x_{0}}$$$：
$$x_{0} \left(- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}\right) = x_{0} \left(- {\color{red}{\frac{x}{x_{0}}}} + {\color{red}{\frac{x}{x_{0}}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{x}{x_{0}}}} \right)}\right)$$
因此，
$$\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x} = x_{0} \left(\frac{x \ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)}}{x_{0}} - \frac{x}{x_{0}}\right)$$
化簡：
$$\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x} = x \left(\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} - 1\right)$$
加上積分常數：
$$\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x} = x \left(\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} - 1\right)+C$$
答案
$$$\int \ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right)\, dx = x \left(\ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right) - 1\right) + C$$$A