$$$\ln\left(u + v\right)$$$ 對 $$$u$$$ 的積分
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求$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du$$$。
解答
令 $$$w=u + v$$$。
則 $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dw$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{\ln{\left(u + v \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}$$
對於積分 $$$\int{\ln{\left(w \right)} d w}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{z} \operatorname{dl} = \operatorname{z}\operatorname{l} - \int \operatorname{l} \operatorname{dz}$$$。
令 $$$\operatorname{z}=\ln{\left(w \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dl}=dw$$$。
則 $$$\operatorname{dz}=\left(\ln{\left(w \right)}\right)^{\prime }dw=\frac{dw}{w}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{l}=\int{1 d w}=w$$$（步驟見 »）。
該積分變為
$${\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(w \right)} \cdot w-\int{w \cdot \frac{1}{w} d w}\right)}}={\color{red}{\left(w \ln{\left(w \right)} - \int{1 d w}\right)}}$$
配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dw = c w$$$：
$$w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{\int{1 d w}}} = w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{w}}$$
回顧一下 $$$w=u + v$$$：
$$- {\color{red}{w}} + {\color{red}{w}} \ln{\left({\color{red}{w}} \right)} = - {\color{red}{\left(u + v\right)}} + {\color{red}{\left(u + v\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(u + v\right)}} \right)}$$
因此，
$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = - u - v + \left(u + v\right) \ln{\left(u + v \right)}$$
化簡：
$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)$$
加上積分常數：
$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)+C$$
答案
$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du = \left(u + v\right) \left(\ln\left(u + v\right) - 1\right) + C$$$A