$$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)}\, dx$$$。

令 $$$u=e^{x} + 1$$$。

則 $$$du=\left(e^{x} + 1\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$e^{x} dx = du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u + 1\right)} d u}}}$$

進行部分分式分解（步驟可見 »）:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{u} d u} - \int{\frac{1}{u + 1} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$- \int{\frac{1}{u + 1} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - \int{\frac{1}{u + 1} d u} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

令 $$$v=u + 1$$$。

則 $$$dv=\left(u + 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dv$$$。

因此，

$$\ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$\ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$v=u + 1$$$：

$$\ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 1\right)}}}\right| \right)}$$

回顧一下 $$$u=e^{x} + 1$$$：

$$- \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\left(e^{x} + 1\right)}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(e^{x} + 1\right)}}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)} d x} = \ln{\left(e^{x} + 1 \right)} - \ln{\left(e^{x} + 2 \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)} d x} = \ln{\left(e^{x} + 1 \right)} - \ln{\left(e^{x} + 2 \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)}\, dx = \left(\ln\left(e^{x} + 1\right) - \ln\left(e^{x} + 2\right)\right) + C$$$A