$$$\frac{e^{- y}}{y}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$。

令 $$$u=- y$$$。

則 $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

此積分（指數積分）不存在閉式表示：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=- y$$$：

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A