$$$\frac{t - u}{e}$$$ 對 $$$t$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{t - u}{e}\, dt$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=e^{-1}$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = t - u$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{t - u}{e} d t}}} = {\color{red}{\frac{\int{\left(t - u\right)d t}}{e}}}$$
逐項積分：
$$\frac{{\color{red}{\int{\left(t - u\right)d t}}}}{e} = \frac{{\color{red}{\left(\int{t d t} - \int{u d t}\right)}}}{e}$$
套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$\frac{- \int{u d t} + {\color{red}{\int{t d t}}}}{e}=\frac{- \int{u d t} + {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{e}=\frac{- \int{u d t} + {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}}{e}$$
配合 $$$c=u$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dt = c t$$$：
$$\frac{\frac{t^{2}}{2} - {\color{red}{\int{u d t}}}}{e} = \frac{\frac{t^{2}}{2} - {\color{red}{t u}}}{e}$$
因此，
$$\int{\frac{t - u}{e} d t} = \frac{\frac{t^{2}}{2} - t u}{e}$$
化簡：
$$\int{\frac{t - u}{e} d t} = \frac{t \left(t - 2 u\right)}{2 e}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{t - u}{e} d t} = \frac{t \left(t - 2 u\right)}{2 e}+C$$
答案
$$$\int \frac{t - u}{e}\, dt = \frac{t \left(t - 2 u\right)}{2 e} + C$$$A