$$$e^{- x \left(a - b\right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx$$$。

令 $$$u=- x \left(a - b\right)$$$。

則 $$$du=\left(- x \left(a - b\right)\right)^{\prime }dx = - (a - b) dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - \frac{du}{a - b}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{- a + b}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a + b}}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a + b} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a + b}$$

回顧一下 $$$u=- x \left(a - b\right)$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a + b} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- x \left(a - b\right)\right)}}}}{- a + b}$$

因此，

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{- x \left(a - b\right)}}{- a + b}$$

化簡：

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b}+C$$

$$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b} + C$$$A