$$$e^{- p^{2} - q^{2}}$$$ 對 $$$p$$$ 的積分
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求$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp$$$。
解答
重寫被積函數:
$${\color{red}{\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p}}} = {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(p \right)}\, dp = c \int f{\left(p \right)}\, dp$$$，使用 $$$c=e^{- q^{2}}$$$ 與 $$$f{\left(p \right)} = e^{- p^{2}}$$$：
$${\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}} = {\color{red}{e^{- q^{2}} \int{e^{- p^{2}} d p}}}$$
此積分（誤差函數）不存在閉式表示：
$$e^{- q^{2}} {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} d p}}} = e^{- q^{2}} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}\right)}}$$
因此，
$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}$$
加上積分常數：
$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}+C$$
答案
$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2} + C$$$A