$$$e^{\frac{y}{x}}$$$ 對 $$$y$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$。

令 $$$u=\frac{y}{x}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = x du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=x$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{y}{x}$$$：

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A