$$$\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=x^{6}$$$。
則 $$$du=\left(x^{6}\right)^{\prime }dx = 6 x^{5} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{5} dx = \frac{du}{6}$$$。
所以，
$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{6 u} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{\frac{u}{2}}}{u}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{6 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{u} d u}}{6}\right)}}$$
令 $$$v=\frac{u}{2}$$$。
則 $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = 2 dv$$$。
所以，
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{u} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{6}$$
此積分（指數積分）不存在閉式表示：
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}}{6}$$
回顧一下 $$$v=\frac{u}{2}$$$：
$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{6} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}} \right)}}{6}$$
回顧一下 $$$u=x^{6}$$$：
$$\frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{6} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{{\color{red}{x^{6}}}}{2} \right)}}{6}$$
因此，
$$\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6}+C$$
答案
$$$\int \frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6} + C$$$A