$$$e^{\frac{x}{4}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{x}{4}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{x}{4}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{4}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 4 du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(4 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$4 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 4 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{4}$$$：

$$4 e^{{\color{red}{u}}} = 4 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{4}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{4}} d x} = 4 e^{\frac{x}{4}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{x}{4}} d x} = 4 e^{\frac{x}{4}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{4}}\, dx = 4 e^{\frac{x}{4}} + C$$$A