$$$e^{\frac{u}{v}}$$$ 對 $$$u$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$。

令 $$$w=\frac{u}{v}$$$。

則 $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = v dw$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$，使用 $$$c=v$$$ 與 $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$：

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$：

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

回顧一下 $$$w=\frac{u}{v}$$$：

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A