$$$- x^{2} + e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - 2$$$ 的積分

求$$$\int \left(- x^{2} + e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - 2\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(- x^{2} + e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - 2\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{2 d x} - \int{x^{2} d x} + \int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=2$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$- \int{x^{2} d x} + \int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} - {\color{red}{\int{2 d x}}} = - \int{x^{2} d x} + \int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} - {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$- 2 x + \int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- 2 x + \int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 2 x + \int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

令 $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$。

則 $$$du=\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \sqrt{2} du$$$。

所以，

$$- \frac{x^{3}}{3} - 2 x + {\color{red}{\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x}}} = - \frac{x^{3}}{3} - 2 x + {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}$$

對於積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{d} \operatorname{dv} = \operatorname{d}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dd}$$$。

令 $$$\operatorname{d}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。

則 $$$\operatorname{dd}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$- \frac{x^{3}}{3} - 2 x + {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- \frac{x^{3}}{3} - 2 x + {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- \frac{x^{3}}{3} - 2 x + {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$u e^{u} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = u e^{u} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$：

$$- \frac{x^{3}}{3} - 2 x - e^{{\color{red}{u}}} + {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - \frac{x^{3}}{3} - 2 x - e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}} + {\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}}$$

因此，

$$\int{\left(- x^{2} + e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - 2\right)d x} = \sqrt{2} \sqrt{x} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x - e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- x^{2} + e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - 2\right)d x} = \sqrt{2} \sqrt{x} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x - e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}+C$$

$$$\int \left(- x^{2} + e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - 2\right)\, dx = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x - e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\right) + C$$$A