$$$e^{7 x}$$$ 的積分

求$$$\int e^{7 x}\, dx$$$。

令 $$$u=7 x$$$。

則 $$$du=\left(7 x\right)^{\prime }dx = 7 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{7}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{7 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{7} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{7}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{7} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{7}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{7}$$

回顧一下 $$$u=7 x$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{7} = \frac{e^{{\color{red}{\left(7 x\right)}}}}{7}$$

因此，

$$\int{e^{7 x} d x} = \frac{e^{7 x}}{7}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{7 x} d x} = \frac{e^{7 x}}{7}+C$$

$$$\int e^{7 x}\, dx = \frac{e^{7 x}}{7} + C$$$A