$$$e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}\, dx$$$。

令 $$$u=\sqrt{33} \sqrt{x}$$$。

則 $$$du=\left(\sqrt{33} \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{33}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 \sqrt{33} du}{33}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{33} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{2}{33}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{33} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{u e^{u} d u}}{33}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

令 $$$\operatorname{g}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。

則 $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$\frac{2 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}}{33}=\frac{2 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}}{33}=\frac{2 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}}{33}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{2 u e^{u}}{33} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{33} = \frac{2 u e^{u}}{33} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{33}$$

回顧一下 $$$u=\sqrt{33} \sqrt{x}$$$：

$$- \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{33} + \frac{2 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}}}{33} = - \frac{2 e^{{\color{red}{\sqrt{33} \sqrt{x}}}}}{33} + \frac{2 {\color{red}{\sqrt{33} \sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{33} \sqrt{x}}}}}{33}$$

因此，

$$\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \sqrt{33} \sqrt{x} e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33} - \frac{2 e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33}$$

化簡：

$$\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{33} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{33} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}\, dx = \frac{2 \left(\sqrt{33} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33} + C$$$A