$$$\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx$$$。

令 $$$u=e^{2 x}$$$。

則 $$$du=\left(e^{2 x}\right)^{\prime }dx = 2 e^{2 x} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$e^{2 x} dx = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}{2}\right)}}$$

令 $$$u=4 \sin{\left(v \right)}$$$。

則 $$$du=\left(4 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 4 \cos{\left(v \right)} dv$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{\sqrt{16 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

假設 $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{4 \cos{\left( v \right)}}$$$

積分變為

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dv = c v$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{v}}}{2}$$

回顧一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{v}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=e^{2 x}$$$：

$$\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{4} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{e^{2 x}}}}{4} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2} + C$$$A