$$$e^{\frac{x}{2}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{x}{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{x}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 2 du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{2}$$$：

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{2}} d x} = 2 e^{\frac{x}{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{x}{2}} d x} = 2 e^{\frac{x}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 e^{\frac{x}{2}} + C$$$A