$$$a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=a d$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$：

$${\color{red}{\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = {\color{red}{a d \int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}}$$

令 $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{\left|{a}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{\left|{a}\right|}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \left|{a}\right| du$$$。

該積分可改寫為

$$a d {\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\left|{a}\right|$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$：

$$a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}} = a d {\color{red}{\left|{a}\right| \int{e^{u^{2}} d u}}}$$

此積分（虛誤差函數）不存在閉式表示：

$$a d \left|{a}\right| {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = a d \left|{a}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$：

$$\frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\frac{x}{\left|{a}\right|}}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}+C$$

$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2} + C$$$A