$$$e^{x} + e^{- x}$$$ 的積分

求$$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{e^{- x} d x} + \int{e^{x} d x}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$：

$$\int{e^{- x} d x} + {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = \int{e^{- x} d x} + {\color{red}{e^{x}}}$$

令 $$$u=- x$$$。

則 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

所以，

$$e^{x} + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = e^{x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$e^{x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = e^{x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- x$$$：

$$e^{x} - e^{{\color{red}{u}}} = e^{x} - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

因此，

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = e^{x} - e^{- x}$$

化簡：

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx = 2 \sinh{\left(x \right)} + C$$$A