$$$\frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{1}{\sqrt{x} + 1}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=\sqrt{x}$$$。
則 $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$。
該積分可改寫為
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u}{u + 1} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{u}{u + 1}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{2 u}{u + 1} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{u}{u + 1} d u}\right)}}$$
重寫並拆分分式:
$$2 {\color{red}{\int{\frac{u}{u + 1} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u + 1}\right)d u}}}$$
逐項積分：
$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u + 1}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\frac{1}{u + 1} d u}\right)}}$$
配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：
$$- 2 \int{\frac{1}{u + 1} d u} + 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = - 2 \int{\frac{1}{u + 1} d u} + 2 {\color{red}{u}}$$
令 $$$v=u + 1$$$。
則 $$$dv=\left(u + 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dv$$$。
該積分可改寫為
$$2 u - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}} = 2 u - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$
$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：
$$2 u - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = 2 u - 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$
回顧一下 $$$v=u + 1$$$：
$$2 u - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = 2 u - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 1\right)}}}\right| \right)}$$
回顧一下 $$$u=\sqrt{x}$$$：
$$- 2 \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} + 2 {\color{red}{u}} = - 2 \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\sqrt{x}}}}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\sqrt{x}}}$$
因此，
$$\int{\frac{1}{\sqrt{x} + 1} d x} = 2 \sqrt{x} - 2 \ln{\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right| \right)}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{1}{\sqrt{x} + 1} d x} = 2 \sqrt{x} - 2 \ln{\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right| \right)}+C$$
答案
$$$\int \frac{1}{\sqrt{x} + 1}\, dx = \left(2 \sqrt{x} - 2 \ln\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right|\right)\right) + C$$$A