$$$\frac{1}{\sqrt{- 2 t^{26} + t^{2}}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{- 2 t^{26} + t^{2}}}\, dt$$$。

已將輸入重寫為：$$$\int{\frac{1}{\sqrt{- 2 t^{26} + t^{2}}} d t}=\int{\frac{1}{t \sqrt{1 - 2 t^{24}}} d t}$$$。

令 $$$u=t^{12}$$$。

則 $$$du=\left(t^{12}\right)^{\prime }dt = 12 t^{11} dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$t^{11} dt = \frac{du}{12}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{t \sqrt{1 - 2 t^{24}}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{12 u \sqrt{1 - 2 u^{2}}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{12}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \sqrt{1 - 2 u^{2}}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{12 u \sqrt{1 - 2 u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u \sqrt{1 - 2 u^{2}}} d u}}{12}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{\sqrt{2} \sin{\left(v \right)}}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} \sin{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\sqrt{2} \cos{\left(v \right)}}{2} dv$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} u \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{ u \sqrt{1 - 2 u ^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}}$$$

假設 $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin{\left( v \right)} \cos{\left( v \right)}}$$$

積分變為

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u \sqrt{1 - 2 u^{2}}} d u}}}}{12} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(v \right)}} d v}}}}{12}$$

使用倍角公式 $$$\sin\left( v \right)=2\sin\left(\frac{ v }{2}\right)\cos\left(\frac{ v }{2}\right)$$$ 重寫正弦:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(v \right)}} d v}}}}{12} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{v}{2} \right)} \cos{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{12}$$

將分子與分母同時乘以 $$$\sec^2\left(\frac{ v }{2} \right)$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{v}{2} \right)} \cos{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{12} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{12}$$

令 $$$w=\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}$$$。

則 $$$dw=\left(\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}\right)^{\prime }dv = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)}}{2} dv$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)} dv = 2 dw$$$。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{12} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{12}$$

$$$\frac{1}{w}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{w} d w} = \ln{\left(\left|{w}\right| \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{12} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{w}\right| \right)}}}}{12}$$

回顧一下 $$$w=\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{w}}}\right| \right)}}{12} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}}}}\right| \right)}}{12}$$

回顧一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} u \right)}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{{\color{red}{v}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{12} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} u \right)}}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{12}$$

回顧一下 $$$u=t^{12}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} {\color{red}{u}} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{12} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} {\color{red}{t^{12}}} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{12}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{t \sqrt{1 - 2 t^{24}}} d t} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} t^{12} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{12}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{t \sqrt{1 - 2 t^{24}}} d t} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} t^{12} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{12}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{- 2 t^{26} + t^{2}}}\, dt = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} t^{12} \right)}}{2} \right)}}\right|\right)}{12} + C$$$A