$$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}\, dx$$$。

令 $$$u=\cos{\left(2 x \right)}$$$。

則 $$$du=\left(\cos{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\sin{\left(2 x \right)} dx = - \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u^{3}}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{3}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u^{3}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}{2}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-3$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\int{u^{-3} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(- \frac{u^{-2}}{2}\right)}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=\cos{\left(2 x \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}^{-2}}{4} = \frac{{\color{red}{\cos{\left(2 x \right)}}}^{-2}}{4}$$

因此，

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}} d x} = \frac{1}{4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}} d x} = \frac{1}{4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}\, dx = \frac{1}{4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}} + C$$$A