$$$\cos{\left(2 t \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt$$$。

令 $$$u=2 t$$$。

則 $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 t$$$：

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(2 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\cos{\left(2 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}+C$$

$$$\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt = \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} + C$$$A