$$$\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{6}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{6}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{6} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 3 \sqrt{2} du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{3 \sqrt{2} \cos{\left(u^{2} \right)} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=3 \sqrt{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u^{2} \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{3 \sqrt{2} \cos{\left(u^{2} \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \sqrt{2} \int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}\right)}}$$

此積分（菲涅耳餘弦積分）不存在閉式表示：

$$3 \sqrt{2} {\color{red}{\int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}}} = 3 \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{6}$$$：

$$3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right) = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{6}\right)}}}{\sqrt{\pi}}\right)$$

因此，

$$\int{\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)} d x} = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{x}{3 \sqrt{\pi}}\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)} d x} = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{x}{3 \sqrt{\pi}}\right)+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)}\, dx = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{x}{3 \sqrt{\pi}}\right) + C$$$A