$$$\cos{\left(5 x^{2} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \cos{\left(5 x^{2} \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=\sqrt{5} x$$$。

則 $$$du=\left(\sqrt{5} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{5} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{\sqrt{5} du}{5}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\cos{\left(5 x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{5} \cos{\left(u^{2} \right)}}{5} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{\sqrt{5}}{5}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u^{2} \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{5} \cos{\left(u^{2} \right)}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{5} \int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}}{5}\right)}}$$

此積分（菲涅耳餘弦積分）不存在閉式表示：

$$\frac{\sqrt{5} {\color{red}{\int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}}}}{5} = \frac{\sqrt{5} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}}{5}$$

回顧一下 $$$u=\sqrt{5} x$$$：

$$\frac{\sqrt{10} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{10} = \frac{\sqrt{10} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{5} x}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{10}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(5 x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{10} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{10} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{10}$$

加上積分常數：

$$\int{\cos{\left(5 x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{10} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{10} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{10}+C$$

$$$\int \cos{\left(5 x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sqrt{10} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{10} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{10} + C$$$A